Question

如圖示，豎直平面內(nèi)半圓形管道ADB固定在CD桿上，AB為直徑，CD過(guò)圓心O且與AB垂直，半圓管道右半BD部分光滑，左半AD部分有摩擦，圓管道半徑R=OB=0.2m，E點(diǎn)為圓管道BD中的一點(diǎn)，OE與CD夾角為θ=60°，兩個(gè)完全相同的可看作質(zhì)點(diǎn)的小球，球直徑略小于管道內(nèi)徑，小球質(zhì)量m=0.1kg，g=10m/s²，求：
（1）如圖甲所示，當(dāng)圓管道繞CD桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，要使小球穩(wěn)定在管道中的E點(diǎn)，角速度ω應(yīng)該多大？
（2）如圖乙所示，圓管道保持靜止，在圓管道D點(diǎn)處放置一靜止小球，另一小球由靜止開(kāi)始從B端管口放入，該球經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)（未與另一小球相碰）對(duì)管道的壓力？
（3）接（2）問(wèn)，兩球在D點(diǎn)相碰（碰撞時(shí)間極短）后粘在一起能運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)F，OF與CD夾角為α=37⁰，求此過(guò)程中摩擦力所做的功？

Answer 1

分析：（1）對(duì)小球受力分析，小球受重力、支持力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合外力提供向心力，根據(jù)向心力公式列方程即可正確求解；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求出小球經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度大小，然后正確受力分析，根據(jù)向心力公式列方程求解即可；
（3）碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒求出二者碰后速度大小，然后根據(jù)動(dòng)能定理列方程即可求解

解答：解：（1）小球在E點(diǎn)時(shí)受重力和管道的彈力，其合力提供向心力，由牛頓第二定律可得：
mgtanθ=mω²r
r=Rsinθ
聯(lián)立解得：ω=10rad/s．
要使小球穩(wěn)定在管道中的E點(diǎn)，角速度ω=10rad/s．
（2）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律可得：

1

2

m

v

2 1

=mgR
解得：v₁=2m/s
設(shè)小球受到管道的彈力為N₂，沿半徑方向由牛頓第二定律可得：

m v 2 1

R

=N2-mg
解得：N₂=3N
故根據(jù)牛頓第三定律，小球過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)管道的壓力為：3N．
（3）設(shè)碰后瞬間兩球的速度為v₂，根據(jù)動(dòng)量守恒定律：
mv₁=2mv₂
解得：v₂=1m/s．
設(shè)摩擦力做功為w，由功能關(guān)系可得：
-2mgR(1-cosα)+W=-

1

2

(2m)

v

2 2

解得：W=-0.02J．
故該過(guò)程中摩擦力所做功為：W=-0.02J．
答：（1）如圖甲所示，當(dāng)圓管道繞CD桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，要使小球穩(wěn)定在管道中的E點(diǎn)，角速度ω應(yīng)該為10rad/s；
（2）如圖乙所示，圓管道保持靜止，在圓管道D點(diǎn)處放置一靜止小球，另一小球由靜止開(kāi)始從B端管口放入，該球經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)（未與另一小球相碰）對(duì)管道的壓力為3N；
（3）接（2）問(wèn)，兩球在D點(diǎn)相碰（碰撞時(shí)間極短）后粘在一起能運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)F，OF與CD夾角為α=37⁰，此過(guò)程中摩擦力所做的功為-0.02J．

點(diǎn)評(píng)：處理圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的思路是：找圓心，定半徑，受力分析，列向心力公式方程，本題結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)考查了功能關(guān)系、動(dòng)量守恒等知識(shí)，是考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)能力的好題．