Question

已知函數(shù)f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．

(1)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若函數(shù)f(x)在x＝1處取得極值，對(duì)∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

(3)當(dāng)0<x<y<e²且x≠e時(shí)，試比較與的大小．

Answer 1

 [解析]　(1)f ′(x)＝a－＝，當(dāng)a≤0時(shí)，f ′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，

∴f(x)在(0，＋∞)上沒有極值點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，由f ′(x)≤0得0<x≤，

由f ′(x)≥0得x≥，

∴f(x)在(0，]上單調(diào)遞減，在[，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)在x＝處有極小值．

∴當(dāng)a≤0時(shí)f(x)在(0，＋∞)上沒有極值點(diǎn)，

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)極值點(diǎn)．

(2)∵函數(shù)f(x)在x＝1處取得極值，∴a＝1，

∴f(x)≥bx－2⇔1＋－≥b，

令g(x)＝1＋－，則g′(x)＝－－＝，由g′(x)≥0得x≥e²，

由g′(x)≤0得0<x≤e²，因此可得g(x)在(0，e²]上單調(diào)遞減，在[e²，＋∞)上單調(diào)遞增，

∴g(x)_min＝g(e²)＝1－，即b≤1－.

(3)令h(x)＝－＝g(x)－1，

由(2)可知g(x)在(0，e²)上單調(diào)遞減，則h(x)在(0，e²)上單調(diào)遞減

∴當(dāng)0<x<y<e²時(shí)，h(x)>h(y)，即>.

當(dāng)0<x<e時(shí)，1－lnx>0，∴>，

當(dāng)e<x<e²時(shí)，1－lnx<0，∴<.