Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，若函數(shù)g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

A．（ 1 e ，e2+ 1 e ）

B．（0，e2+ 1 e ）

C．（e2+ 1 e ，+∞）

D．（-∞，e2+ 1 e ）

Answer 1

∵函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即f（0）=ln（1+a）=0，解得a=0，即f（x）=lne^x=x．
∴g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）=lnx-x（x²-2ex+m），
由g（x）=lnx-x（x²-2ex+m）=0，得

lnx

x

=x²-2ex+m，
設(shè)h（x）=

lnx

x

，m（x）=x²-2ex+m，
則m（x）=（x-e）²+m-e²≥m-e²，
h'（x）=

1-lnx

x2

，由h'（x）＞0，得0＜x＜e，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由h'（x）＜0，得x＞e，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)h（x）取得最大值h（e）=

lne

e

=

1

e

，
要使g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，
則

1

e

＞m-e2，即m＜

1

e

+e2．
故選D．