Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線交橢圓于兩點(diǎn).

(1)若以為直徑的圓內(nèi)切于圓，求橢圓的長軸長；

(2)當(dāng)時(shí)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓長軸長為6 (2) 在軸存在定點(diǎn)，使得為定值

【解析】試題分析：（1）根據(jù)圖形的幾何特點(diǎn)得到，兩個(gè)圓相內(nèi)切時(shí)，兩個(gè)圓的圓心距等于兩個(gè)圓的半徑，，進(jìn)而得到參數(shù)值a=3;(2)聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，進(jìn)而得到參數(shù)值.

解析：

(1)設(shè)的中點(diǎn)為，在三角形中，由中位線得：

.

當(dāng)兩個(gè)圓相內(nèi)切時(shí)，兩個(gè)圓的圓心距等于兩個(gè)圓的半徑，即，

所以，橢圓長軸長為6.

(2)由已知，，，所以橢圓方程為.

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為.

設(shè)，，

由，得，

∴恒成立.

∴，，

，

設(shè)，

，

當(dāng)即時(shí)為定值

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，為定值.

綜上：在軸存在定點(diǎn)，使得為定值.