Question

如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=AD.

（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；

（2）在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使CE∥平面PAB？若存在，請(qǐng)確定E點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：設(shè)PA=1.（1）證明:由題意PA=BC=1，AD=2.

∵AB=1,BC=AD,

由∠ABC=∠BAD=90°,易得CD=AC=.

由勾股定理逆定理得AC⊥CD.

又∵PA⊥面ABCD，CD面ABCD，

∴PA⊥CD.又PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC.

又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

（2）作CF∥AB交AD于F，作EF∥AP交PD于E，連接CE.

∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF=F，PA∩AB=A，

∴平面EFC∥平面PAB.

又CE平面EFC，∴CE∥平面PAB.

∵BC=AD，AF=BC，

∴F為AD的中點(diǎn).∴E為PD中點(diǎn).

故棱PD上存在點(diǎn)E，且E為PD中點(diǎn)，使CE∥面PAB.