Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=

2

，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求

AE

AP

的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）證明PH⊥平面ABCD，以H為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，利用向量的數(shù)量積為0，即可證得結(jié)論；
（2）假設(shè)在棱PA上存在一點(diǎn)E，不妨設(shè)

AE

=λ

AP

（0＜λ＜1），求得平面EBD的一個(gè)法向量、面ABD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：取AB中點(diǎn)H，則由PA=PB，得PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．以H為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz（如圖）．則A(1，0，0)，B(-1，0，0)，D(1，

2

，0)，C(-1，

2

，0)，P(0，0，

3

)…．．（2分）
∵

PD

=(1，

2

，-

3

)，

AC

=(-2，

2

，0)，…．．（4分）
∴

PD

•

AC

=(1，

2

，-

3

)•(-2，

2

，0)=0，
∴

PD

⊥

AC

，即PD⊥AC．         …．．（6分）
（2）解：假設(shè)在棱PA上存在一點(diǎn)E，不妨設(shè)

AE

=λ

AP

（0＜λ＜1），
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1-λ，0，

3

λ)，…．．（8分）
∴

BE

=(2-λ，0，

3

λ)，

BD

=(2，

2

，0)
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面EBD的法向量，則

n ⊥ BE n ⊥ BD

，

n • BE =0 n • BD =0

∴

(2-λ)x+0•y+ 3 λz=0 2x+ 2  y+0•z=0

∴

z=- 2-λ 3 λ x y=- 2 x

，
不妨取x=

3

，則得到平面EBD的一個(gè)法向量

n

=(

3

，-

6

，-

2-λ

λ

)．  …．．（10分）
又面ABD的法向量可以是

HP

=（0，0，

3

），
要使二面角E-BD-A的大小等于45°，
則cos45°=|cos＜

HP

，

n

＞|=|

HP • n

| HP |•| n |

|=

|( 3 ，- 6 ，- 2-λ λ )(0，0， 3 )|

|( 3 ，- 6 ，- 2-λ λ )|•|(0，0， 3 )|

可解得λ=

1

2

，即

AE

=

1

2

AP

故在棱PA上存在點(diǎn)E，當(dāng)

AE

AP

=

1

2

時(shí)，使得二面角E-BD-A的大小等于45°．…．．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直，考查面面角，考查利用向量法解決立體幾何的能力，屬于中檔題．