Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=

3

，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=

3

3

，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證EF∥平面PAC，證明EF∥CP即可．
（Ⅱ）要證PE⊥AF，證明AF⊥平面PBC即可．通過PB⊥AF，BC⊥AF可以證出AF⊥平面PBC
（Ⅲ）分別以直線AD、DB、DP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量方法，求出平面PDE的一個法向量，則直線PA與平面PDE所成角的正弦值等于

AP

與此法向量夾角的余弦絕對值．

解答：（Ⅰ）證明：E為BC中點，F(xiàn)是PB中點，∴EF∥CP，CP?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC；
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，AF?平面PAB，∴BC⊥AF，
又PA=AB，F(xiàn)是PB中點，∴PB⊥AF，PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，PE?平面PBC，∴PE⊥AF．
（III）分別以直線AD、DB、DP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系
P（0，0，1）D（

3

，0，0）B（0，1，0），E（

3

3

，1，0）

PD

=（

3

，0，-1）

DE

=（-

2 3

3

，1，0）
設平面PDE的一個法向量為

n

=（x，y，z）
由

n • PD =0 n • DE =0

得

3 x-z=0 - 2 3 3 x+y=0

令x=1得平面PDE和一個法向量

n

=（1，

2 3

3

，

3

），|

n

|=

4 3

3

又

AP

=（0，0，1）AP與平面PDE所成角為θ
所以sinθ=

|AP • n |

| AP ||  n |

=

3

4 3 3

=

3

4

PA與平面PDE所成角正弦值為

3

4

．

點評：本題考查空間直線、平面位置關系的判定，線面角求解．考查空間想象能力、推理論證、轉化計算能力．