Question

【題目】已知函數(shù)（其中），，已知和在處有相同的切線．

（1）求函數(shù)和的解析式；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

（3）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值，最小值為；（3）一個(gè)，理由見解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得，根據(jù)和在處有相同的切線．可得及，聯(lián)立解得．

（2）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性后可得極值，再求出區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值即可得出所求的最值．

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（1）（其中），，

．

，．

和在處有相同的切線．

，解得．

，

（2），．

可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，．

又．

∴時(shí)，函數(shù)取得最大值，．

綜上可得：函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為：．

（3）函數(shù)．

．

當(dāng)時(shí)，，故在為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，故在為增函數(shù)；

，，

而，

故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在上無零點(diǎn)，

綜上，有一個(gè)零點(diǎn).