Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)分別作射線、交曲線于不同的兩點(diǎn)、，且．試探究直線是否過定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；如果不是，請(qǐng)說明理由

Answer 1

【答案】（1） （2）直線經(jīng)過定點(diǎn)，理由見解析.

【解析】

（1）設(shè)出的坐標(biāo)，利用已知條件列出方程，即可求解軌跡方程．
（2）直線斜率不能為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，通過得到關(guān)系式，利用點(diǎn)在拋物線上，轉(zhuǎn)化求解直線系方程直線方程，推出結(jié)果．

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，依題意動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線.
可得，即.

化簡得，∴曲線的軌跡方程為．
（2）直線經(jīng)過定點(diǎn).
依題意，直線斜率不能為0，所以設(shè)直線的方程為

聯(lián)立得，①，
設(shè)，則．
又
即 ，
即
又

所以

∴

即

或

依題意，直線:不經(jīng)過，∴.

所以
而當(dāng)時(shí)，直線方程為，即.
即直線過定點(diǎn)．

綜上，直線過定點(diǎn)．