Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)（4，-）（1）求雙曲線的方程.（2）若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上，求證：.（3）若點(diǎn)A,B在雙曲線上，點(diǎn)N(3,1)恰好是AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程(12分)

Answer 1

（1） .（2）。

解析試題分析：(1)根據(jù)離心率為,可知雙曲線為等軸雙曲線,可設(shè)雙曲線的方程為,再根據(jù)它過點(diǎn)（4，-）代入雙曲線方程求出參數(shù)值，方程確定.
(2)根據(jù)點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,可求出m值，然后求出,從而得到.
(3)因?yàn)镹（3，1）為弦AB的中點(diǎn)，可利用點(diǎn)差法求得直線的斜率，進(jìn)而寫出點(diǎn)斜式方程.
（1） ∵離心率為，∴雙曲線為等軸雙曲線.∵雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上∴設(shè)雙曲線的方程為，，
∵點(diǎn)（4，-）在雙曲線上∴，∴雙曲線的方程為，.（2）∵M(jìn)(3,m)在雙曲線上，∴，∵，，∴
∴∴.（3）∵點(diǎn)N(3,1)恰好是弦AB的中點(diǎn)∴有點(diǎn)差法易得，∴直線AB的方程為
∴
考點(diǎn)：雙曲線的方程及和性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系.
點(diǎn)評：當(dāng)知道弦中點(diǎn)時(shí)，可利用點(diǎn)差法求得弦所在直線的斜率，寫出點(diǎn)斜式方程再化成一般式方程即可.