Question

【題目】已知，函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）求出函數(shù)求其導(dǎo)函數(shù)，可知當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，分和分類討論，即可篩選出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)的的范圍.

詳解：（1）∵

∴

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，增區(qū)間為，無減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，令得

的增區(qū)間為，減區(qū)間為.

（2）函數(shù) ，

∴

①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則，

∴時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，令得，

令，得，令，得，

因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（i）當(dāng)，即時(shí)，

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，∴

要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，則，得；

（ii）當(dāng)，即時(shí)，

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，

∴

設(shè)

∴

∴在上單調(diào)遞減，

∴ ，

而當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，不合題意.

綜上，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，則的最大值為