Question

【題目】已知函數(shù)的最大值為（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是的導(dǎo)函數(shù)。

（1）求的值；

（2）任取兩個(gè)不等的正數(shù)，且，若存在正數(shù)，使得成立。求證：。

Answer 1

【答案】（1）.（2）見(jiàn)解析.

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分情況得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得在處取得最值，進(jìn)而求解；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)換元將等式右邊的函數(shù)改為，對(duì)此函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得證.

（1）由題意得，顯然，∵，∴，

令，解得，

①.當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴在處取得極大值，也是最大值，

∴，解得；

②當(dāng)時(shí)，易知與題意不符，故舍去，

綜上所述，；

（2）由（1）知，則，∴，

∴，即，

則

，

設(shè)，則，

令，則，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∴，即，又，

∴，即，∴，

同理可證，得證。