Question

已知向量

a

、

b

如圖所示．
（1）試畫(huà)出

a

+

b

和

a

-

b

；（保留畫(huà)圖痕跡，不要求寫(xiě)畫(huà)法）
（2）若|

a

|=2，|

b

|=1，

a

、

b

的夾角為120°，求|

a

+

b

|及

a

與

a

+

b

的夾角θ．

Answer 1

分析：（1）由向量的運(yùn)算法則作圖可得；
（2）由向量的運(yùn)算可得|

a

+

b

|2，進(jìn)而可得|

a

+

b

|，還可得

a

•(

a

+

b

)，而cosθ=

a •( a + b )

| a || a + b |

，代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）如圖，以向量

a

，

b

為臨邊作平行四邊形ABCD，
可得紅色向量

AC

=

a

+

b

，綠色向量

DB

=

a

-

b

（2）由題意|

a

|=2，|

b

|=1，

a

、

b

的夾角為120°，
所以|

a

+

b

|2=(

a

+

b

)2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2
=|

a

|2+2|

a

||

b

|cos120°+|

b

|2
=22+2×2×1×(-

1

2

)+12=3，
∴|

a

+

b

|=

3

又因?yàn)?span id="tohjhse" class="MathJye">

a

•(

a

+

b

)=

a

2+

a

•

b

=|

a

|2+|

a

||

b

|cos120°
=22+2×1×(-

1

2

)=3，所以cosθ=

a •( a + b )

| a || a + b |

=

3

2 3

=

3

2

，
又0°≤θ≤180°，所以θ=30°

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積與夾角的關(guān)系，涉及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．