Question

【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且離心率為，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)， 內(nèi)切圓面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，連接并延長分別交直線于兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）和．

【解析】試題分析：（1）首先設(shè)，然后根據(jù)離心率得到與的關(guān)系，再根據(jù)三角形面積取得最大值時(shí)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，由此求得的值，從而求得橢圓方程；（2）首先設(shè)出直線的方程，并聯(lián)立橢圓方程，然后利用韋達(dá)定理結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得定點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）已知橢圓的離心率為，不妨設(shè)， ，即，其中，

又內(nèi)切圓面積取最大值時(shí)，半徑取最大值為，由，

由為定值，因此也取得最大值，即點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，

因此， ，解得，

則橢圓的方程為．

（2）設(shè)直線的方程為， ， ，聯(lián)立可得

，則， ，

直線的方程為，直線的方程為，

則， ，

假設(shè)為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，

則， ，

，

即，

即，

，

即，若為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，即不論為何值時(shí)， 恒成立，因此， ， 或，即恒過定點(diǎn)和．