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          【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，  ，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．

          （1）求證：EF⊥平面BCF；
          （2）點(diǎn)M在線(xiàn)段EF（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          【答案】
          （1）解：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=CD=BC=1，
          又∵  ，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3．…∴AB2=AC2+BC2．∴BC⊥AC．…
          ∵CF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥CF，… 而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．…
          ∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF．…

          （2）由（1）可建立分別以直線(xiàn)CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
          令FM=λ（  ），則C（0，0，0），A（  ，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），…
          ∴  =（﹣  ，1，0），  =（λ，﹣1，1），
          設(shè)  為平面MAB的一個(gè)法向量，
          由  得  取x=1，則  =（1，  ，  ），…
          ∵  =（1，0，0）是平面FCB的一個(gè)法向量，
          ∴  =  ．
          ∵  ，∴當(dāng)λ=0時(shí)，cosθ有最小值  ，…
          ∴點(diǎn)M與點(diǎn)F重合時(shí)，平面MAB與平面FCB所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為  ．

          【解析】1、由題意可得AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．∴BC⊥AC．根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可得EF⊥平面BCF2；
          2、建立空間直角坐標(biāo)系由向量可得c o s θ==,∵  ，∴當(dāng)λ=0時(shí)，cosθ有最小值  ,點(diǎn)M與點(diǎn)F重合時(shí)，平面MAB與平面FCB所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為  ．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          【題目】若△ABC的三內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)邊a、b、c滿(mǎn)足2a=b+c，則角A的取值范圍為 ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽為主的《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》火爆熒屏．將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，隨機(jī)從中抽取了100名選手進(jìn)行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級(jí)人數(shù)的條形圖．

          （Ⅰ）若將一般等級(jí)和良好等級(jí)合稱(chēng)為合格等級(jí)，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為選手成績(jī)“優(yōu)秀”與文化程度有關(guān)？
          優(yōu)秀
          合格
          合計(jì)
          大學(xué)組
          中學(xué)組
          合計(jì)
          注：K2  ，其中n=a+b+c+d．
          P（k2≥k0）
          0.10
          0.05
          0.005
          k0
          2.706
          3.841
          7.879
          （Ⅱ）若江西參賽選手共80人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)其中優(yōu)秀等級(jí)的選手人數(shù)；
          （Ⅲ）如果在優(yōu)秀等級(jí)的選手中取4名，在良好等級(jí)的選手中取2名，再?gòu)倪@6人中任選3人組成一個(gè)比賽團(tuán)隊(duì)，求所選團(tuán)隊(duì)中的有2名選手的等級(jí)為優(yōu)秀的概率．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          【題目】在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推廣線(xiàn)下分店，計(jì)劃在S市的A區(qū)開(kāi)設(shè)分店，為了確定在該區(qū)開(kāi)設(shè)分店的個(gè)數(shù)，該公司對(duì)該市已開(kāi)設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格．記x表示在各區(qū)開(kāi)設(shè)分店的個(gè)數(shù)，y表示這x個(gè)分店的年收入之和．
          x（個(gè)）
          2
          3
          4
          5
          6
          y（百萬(wàn)元）
          2.5
          3
          4
          4.5
          6

          （1）該公司已經(jīng)過(guò)初步判斷，可用線(xiàn)性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程  ；
          （2）假設(shè)該公司在A區(qū)獲得的總年利潤(rùn)z（單位：百萬(wàn)元）與x，y之間的關(guān)系為z=y﹣0.05x2﹣1.4，請(qǐng)結(jié)合（1）中的線(xiàn)性回歸方程，估算該公司應(yīng)在A區(qū)開(kāi)設(shè)多少個(gè)分店時(shí)，才能使A區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn)最大？
          （參考公式：  ，其中  ）
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          【題目】中國(guó)有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”．其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來(lái)進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式，如下表：

          表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬(wàn)位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬(wàn)位用橫式表示，以此類(lèi)推，例如6613用算籌表示就是：  ，則算籌式  表示的數(shù)字為 ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          【題目】第五屆北京農(nóng)業(yè)嘉年華于2017年3月11日至5月7日在昌平區(qū)興壽鎮(zhèn)草莓博覽園中舉辦，設(shè)置“三館兩園一帶一谷一線(xiàn)”八大功能板塊．現(xiàn)安排六名志愿者去其中的“三館兩園”參加志愿者服務(wù)工作，若每個(gè)“館”與“園”都至少安排一人，則不同的安排方法種數(shù)為（　�。�
          A.C  A 
          B.5C  A 
          C.5A 
          D.C  A 
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4．

          （Ⅰ）求證：平面PCD⊥平面PAD；
          （Ⅱ）求直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的正弦值；
          （Ⅲ）在棱CD上是否存在點(diǎn)M，使得AM⊥平面PBE？若存在，求出  的值；若不存在，說(shuō)明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          【題目】共享單車(chē)是指企業(yè)在校園、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車(chē)單車(chē)共享服務(wù)，是共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài)．一個(gè)共享單車(chē)企業(yè)在某個(gè)城市就“一天中一輛單車(chē)的平均成本（單位：元）與租用單車(chē)的數(shù)量（單位：千輛）之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究，在調(diào)查過(guò)程中進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得出相關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：
          租用單車(chē)數(shù)量x（千輛）
          2
          3
          4
          5
          8
          每天一輛車(chē)平均成本y（元）
          3.2
          2.4
          2
          1.9
          1.7
          根據(jù)以上數(shù)據(jù)，研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個(gè)回歸方程，方程甲：  （1）=  +1.1，方程乙：  （2）=  +1.6．
          （1）為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果，完成以下任務(wù)：
          ①完成下表（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）（備注：  =yi﹣  ，  稱(chēng)為相應(yīng)于點(diǎn)（xi ， yi）的殘差（也叫隨機(jī)誤差）；
          租用單車(chē)數(shù)量x（千輛）
          2
          3
          4
          5
          8
          每天一輛車(chē)平均成本y（元）
          3.2
          2.4
          2
          1.9
          1.7
          模型甲
          估計(jì)值  （1）
          2.4
          2.1
          1.6
          殘差  （1）
          0
          ﹣0.1
          0.1
          模型乙
          估計(jì)值  （2）
          2.3
          2
          1.9
          殘差  （2）
          0.1
          0
          0
          ②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2 ， 并通過(guò)比較Q1 ， Q2的大小，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好．
          （2）這個(gè)公司在該城市投放共享單車(chē)后，受到廣大市民的熱烈歡迎，共享單車(chē)常常供不應(yīng)求，于是該公司研究是否增加投放．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，這個(gè)城市投放8千輛時(shí)，該公司平均一輛單車(chē)一天能收入10元，6元收入的概率分別為0.6，0.4；投放1萬(wàn)輛時(shí)，該公司平均一輛單車(chē)一天能收入10元，6元的概率分別為0.4，0.6．問(wèn)該公司應(yīng)該投放8千輛還是1萬(wàn)輛能獲得更多利潤(rùn)？（按（1）中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車(chē)的平均成本，利潤(rùn)=收入﹣成本）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          【題目】在平面直角坐標(biāo)系  中，點(diǎn)  在拋物線(xiàn)  上.

          （1）求  的方程和  的焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
          （2）設(shè)點(diǎn)  為準(zhǔn)線(xiàn)與  軸的交點(diǎn)，直線(xiàn)  過(guò)點(diǎn)  ，且與直線(xiàn)  垂直，求證：  與  相切.
          

			
          

			
          
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