Question

已知tan（α+

π

4

）=-3，α∈（0，

π

2

）．
（1）求tanα的值；
（2）求sin（2α-

π

3

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)即可求出tanα的值；
（2）由α的范圍，根據(jù)tanα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα和sinα的值，然后利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式分別求出sin2α和cos2α的值，然后把所求的式子利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）由tan（α+

π

4

）=-3可得

tanα+1

1-tanα

=-3．
解得tanα=2．
（2）由tanα=2，α∈（0，

π

2

），可得sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

．
因此sin2α=2sinαcosα=

4

5

，cos2α=1-2sin²α=-

3

5

，
則sin（2α-

π

3

）=sin2αcos

π

3

-cos2αsin

π

3

=

4

5

×

1

2

+

3

5

×

3

2

=

4+3 3

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的正切、正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．做題時(shí)應(yīng)注意角度的范圍．