Question

(14分)如圖①，直角梯形中，，點(diǎn)分別在上，且，現(xiàn)將梯形A沿折起，使平面與平面垂直(如圖②)．
(1)求證：平面；
(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的大�。�
 

Answer 1

(1)證明：見解析；(2)∠NHD＝30°。

(I)本小題屬于翻折問題，本小題可以證明平面AMB//平面DNC即可.
（II）解本小題的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，具體做法：過N作NH⊥BC交BC延長線于H，∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，∴DN⊥平面MBCN，從而DH⊥BC，
∴∠DHN為二面角D－BC－N的平面角．
(1)證明：MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，
∴MB∥平面DNC………………………2
同理MA∥平面DNC，………………….3
又MA∩MB＝M，且MA、MB?平面MAB.
…………………..5
⇒AB∥平面DNC…………………………………7
(2)過N作NH⊥BC交BC延長線于H，……………………….8
∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，
∴DN⊥平面MBCN，從而DH⊥BC，
∴∠DHN為二面角D－BC－N的平面角．………………….11
由MB＝4，BC＝2，∠MCB＝90°知∠MBC＝60°，
CN＝4－2cos60°＝3，∴NH＝3sin60°＝………………….13
由條件知：tanNHD＝＝，∴∠NHD＝30°…………………..14