Question

（2011•重慶模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-2）²+blnx，其中b為常數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若b≤0，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅲ）當(dāng)b=-6時(shí)，利用函數(shù)f（x）的性質(zhì)證明：對(duì)任意大于1的正整數(shù)n，不等式

1

6n2

-

1

6

＜ln(2n+1)-lnn＜

1

6n2

-

1

6

+ln3恒成立．

Answer 1

分析：（1）先由負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)得到f（x）的定義域，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)b大于 2得到導(dǎo)函數(shù)大于0，所以函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）令f（x）的導(dǎo)函數(shù)等于0，求出此時(shí)方程的解即可得到x的值，根據(jù)d小于等于0舍去不在定義域范圍中的解，得到符合定義域的解，然后利用這個(gè)解把（0，+∞）分成兩段，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)f（x）的增減性，根據(jù)f（x）的增減性即可得到函數(shù)的唯一極小值為這個(gè)解；
（3）由b=-6，代入f（x）的解析式中確定出f（x），并根據(jù)（2）把b的值代入求出的唯一極小值中求出值為 3，得到函數(shù)的遞減區(qū)間為（0，3），根據(jù)當(dāng)n＞1時(shí)，2＜2+

1

n

＜3，利用函數(shù)為減函數(shù)恒有 f(2)＜f(2+

1

n

)＜f(3)，化簡(jiǎn)得證．

解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=2x-4+

b

x

=

2x2-4x+b

x

=

2(x-1)2+b-2

x

(x＞0)．
∴當(dāng) b＞2時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）令 f′(x)=2x-4+

b

x

=

2x2-4x+b

x

=0，
得 x1=1-

4-2b

2

，x2=1+

4-2b

2

．
當(dāng)b≤0時(shí)，x1=1-

4-2b

2

≤0∉（0，+∞）（舍去），
而 x2=1+

4-2b

2

≥ 1∈（0，+∞），
此時(shí)：f′（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如下表：
由此表可知：∵b≤0時(shí)，f（x）有惟一極小值點(diǎn) x2=1+

4-2b

2

；
（3）由（2）可知當(dāng)b=-6時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-2）²-6lnx，此時(shí)f（x）有惟一極小值點(diǎn)：x=3，
且 x∈（0，3）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，3）為減函數(shù)．
∵當(dāng)n＞1時(shí)，2＜2+

1

n

＜3，
∴恒有 f(2)＜f(2+

1

n

)＜f(3)，
∴當(dāng)n＞1時(shí)，恒有不等式

1

6n2

-

1

6

＜ln(2n+1)-lnn＜

1

6n2

-

1

6

+ln3成立．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值，掌握導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，是一道綜合題．學(xué)生做題時(shí)應(yīng)注意找出函數(shù)的定義域．第三問(wèn)的突破點(diǎn)是令b=-6，然后利用增減性進(jìn)行證明．