Question

（2013•成都模擬）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則BB₁與平面AB₁C₁所成的角是（　�。�

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用

BB1

與平面AB₁C₁所的一個(gè)法向量 的夾角，求出則BB₁與平面AB₁C₁所成的角．

解答：解：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以與BC垂直的直線為x軸，BC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（

3

，1，0），B₁（0，0，3），C₁（0，2，3），

AB1

=（-

3

，-1，3），

B1C1

=（0，2，0），

BB1

=（0，0，3）．
設(shè)平面AB₁C₁所的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z）
則

AB1 • n =0 B1C1 • n =0

即

- 3 x-y+3z=0 2y=0

，取z=1，則得

n

=（-

3

，0，1），
∵cos＜

BB1

，

n

＞=

BB1 • n

| BB1 || n |

=

3

3× 2

=

1

2

，
∴BB₁與平面AB₁C₁所成的角的正弦值為

1

2

，
∴BB₁與平面AB₁C₁所成的角為

π

6

 
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面角的計(jì)算，利用了空間向量的方法．要注意相關(guān)點(diǎn)和向量坐標(biāo)的準(zhǔn)確性，及轉(zhuǎn)化時(shí)角的相等或互余關(guān)系．