Question

有一道題目由于紙張破損，有一條件看不清楚，具體如下：
在△ABC中，已知a=

3

，______，2cos²（

A+C

2

）=（

2

-1）cosB，求角A．
經推斷，破損處的條件為三角形一邊的長度，該題的答案A=60°是唯一確定的，試將條件補充完整，并說明理由．

Answer 1

∵2cos²（

A+C

2

）=（

2

-1）cosB，
∴1+cos（A+C）=（

2

-1）cosB，
即1-cosB=（

2

-1）cosB，整理得cosB=

2

2

又∵0°＜B＜180°，∴B=45°．-------------4分
接下來分兩種情況討論
（1）

b

sin450

=

3

sin600

?b=

2

，-------6分
檢驗：

b

sinB

=

a

sinA

?

2

sin450

=

3

sinA

?sinA=

3

2

，
又因為A∈（0，π），且a＞b，所以A=60° 或者A=120°，這與已知角A的解為唯一解矛盾．----8分
（2）B=45°，結合A=60°，得C=75°------------9分

c

sin750

=

3

sin600

?c=

6 + 2

2

----------------11分
檢驗：

c

sinC

=

a

sinA

?

6 + 2 2

sin750

=

3

sinA

?sinA=

3

2

，
又∵A∈（0，π），且c＞a，
∴A=60°，且此解是唯一解，符合題意--13分
綜上所述，得破損處應該填上：c=

6 + 2

2

，能使角A有唯一解A=60°--14分