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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          規(guī)定
          C
          m
          x
          =
          x(x-1)…(x-m+1)
          m!
          ,其中x∈R,m是正整數,且
          C
          0
          x
          =1
          ,這是組合數
          C
          m
          n
          (n、m是正整數,且m≤n)的一種推廣.
          (1)求
          C
          3
          -15
          的值;
          (2)設x>0,當x為何值時,
          C
          3
          x
          (
          C
          1
          x
          )
          2
          取得最小值?
          (3)組合數的兩個性質;①
          C
          m
          n
          =
          C
          n-m
          n
          ;②
          C
          m
          n
          +
          C
          m-1
          n
          =
          C
          m
          n+1
          .是否都能推廣到
          C
          m
          x
          (x∈R,m是正整數)的情形?若能推廣,則寫出推廣的形式并給出證明;若不能,則說明理由.
          分析:(1)由題意可得
          C
          3
          -15
          =
          (-15)(-16)(-17)
          3!
          ,運算求得結果.
          (2)根據
          C
          3
          x
          (
          C
          1
          x
          )
          2
          =
          x(x-1)(x-2)
          6x2
          =
          1
          6
          (x+
          2
          x
          -3)
          ,再利用基本不等式求得獅子的最小值.
          (3)性質①不能推廣,通過舉反例可知.性質②能推廣,它的推廣形式是
          C
          m
          x
          +
          C
          m-1
          x
          =
          C
          m
          x+1
          ,x∈R,m是正整數.
          根據題中的規(guī)定化簡運算可以證得.
          解答:解:(1)由題意可得
          C
          3
          -15
          =
          (-15)(-16)(-17)
          3!
          =-680
          .(4分)
          (2)
          C
          3
          x
          (
          C
          1
          x
          )
          2
          =
          x(x-1)(x-2)
          6x2
          =
          1
          6
          (x+
          2
          x
          -3)
          .(6分)
          ∵x>0,故有 x+
          2
          x
          ≥2
          2

          當且僅當x=
          2
          時,等號成立.∴當x=
          2
          時,
          C
          3
          x
          (
          C
          1
          x
          )
          2
          取得最小值.(8分)
          (3)性質①不能推廣,例如當x=
          2
          時,
          C
          1
          2
          有定義,但
          C
          2
          -1
          2
          無意義; (10分)
          性質②能推廣,它的推廣形式是
          C
          m
          x
          +
          C
          m-1
          x
          =
          C
          m
          x+1
          ,x∈R,m是正整數.(12分)
          事實上,當m=1時,有
          C
          1
          x
          +
          C
          0
          x
          =x+1=
          C
          1
          x+1

          當m≥2時.
          C
          m
          x
          +
          C
          m-1
          x
          =
          x(x-1)…(x-m+1)
          m!
          +
          x(x-1)…(x-m-2)
          (m-1)!

          =
          x(x-1)…(x-m+2)
          (m-1)!
          [
          x-m+1
          m
          +1]
          =
          x(x-1)…(x-m+2)(x+1)
          m !
          =
          C
          m
          x+1
          .(14分)
          點評:本題主要考查組合數的性質、二項式系數的性質,這是一道綜合性較強的題目,對學生的邏輯思維能力、推理論證
          能力以及計算能力,均有較好的考查.在課本基本題型(組合數的性質)的基礎上有拓廣創(chuàng)新,屬于中檔題.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數學 來源: 題型:

          規(guī)定
          C
          m
          x
          =
          x(x-1)…(x-m+1)
          m!
          ,其中x∈R,m是正整數,且Cx0=1,這是組合數Cnm(n、m是正整數,且m≤n)的一種推廣.
          (1) 求C-155的值;
          (2)組合數的兩個性質:①Cnm=Cnn-m;②Cnm+Cnm-1=Cn+1m.是否都能推廣到Cxm(x∈R,m是正整數)的情形?
          若能推廣,則寫出推廣的形式并給出證明;若不能,則說明理由.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          規(guī)定Cmx=
          x(x-1)…(x-m+1)
          m!
          ,其中x∈R,m是正整數,且C0x=1,這是組合數Cmn(n、m是正整數,且m≤n)的一種推廣.
          (1)求C3-15的值;
          (2)設x>0,當x為何值時,
          C
          3
          x
          (C
          1
          x
          )2
          取得最小值?
          (3)組合數的兩個性質;
          ①Cmn=Cn-mm. ②Cmn+Cm-1n=Cmn+1
          是否都能推廣到Cmx(x∈R,m是正整數)的情形?若能推廣,則寫出推廣的形式并給出證明;若不能,則說明理由.
          變式:規(guī)定Axm=x(x-1)…(x-m+1),其中x∈R,m為正整數,且Ax0=1,這是排列數Anm(n,m是正整數,且m≤n)的一種推廣.
          (1)求A-153的值;
          (2)排列數的兩個性質:①Anm=nAn-1m-1,②Anm+mAnm-1=An+1m.(其中m,n是正整數)是否都能推廣到Axm(x∈R,m是正整數)的情形?若能推廣,寫出推廣的形式并給予證明;若不能,則說明理由;
          (3)確定函數Ax3的單調區(qū)間.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          規(guī)定
          C
          m
          x
          =
          x(x-1)…(x-m+1)
          m!
          ,其中x∈R,m是正整數,且CX0=1.這是組合數Cnm(n,m是正整數,且m≤n)的一種推廣.
          (1)求C-153的值;
          (2)組合數的兩個性質:①Cnm=Cnn-m;②Cnm+Cnm-1=Cn+1m是否都能推廣到Cxm(x∈R,m∈N*)的情形?若能推廣,請寫出推廣的形式并給予證明;若不能請說明理由.
          (3)已知組合數Cnm是正整數,證明:當x∈Z,m是正整數時,Cxm∈Z.

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

          規(guī)定
          Cmx
          =
          x(x-1)…(x-m+1)
          m!
          ,其中x∈R,m是正整數,且CX0=1.這是組合數Cnm(n,m是正整數,且m≤n)的一種推廣.
          (1)求C-153的值;
          (2)組合數的兩個性質:①Cnm=Cnn-m;②Cnm+Cnm-1=Cn+1m是否都能推廣到Cxm(x∈R,m∈N*)的情形?若能推廣,請寫出推廣的形式并給予證明;若不能請說明理由.
          (3)已知組合數Cnm是正整數,證明:當x∈Z,m是正整數時,Cxm∈Z.

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