Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有極大值0，求a的值；（提示：當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，lnx=x﹣1）；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x﹣1）+ （0＜x≤3），其圖象上任意一點(diǎn)P（x0 ， y0）處切線的斜率k≤ 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）討論并求出函數(shù)f（x）在區(qū)間 上的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）
當(dāng)x∈ 時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x∈ 時(shí)，f'（x）＜0
故函數(shù)f（x）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)f（x）在 （0，+∞）上有極大值
∴l(xiāng)na=a﹣1，解得a=1
（Ⅱ） ，于是有 在（0，3]上恒成立，所以 ，當(dāng)x0=1時(shí)， 取最大值 ，所以 ；
（Ⅲ）∵
①若 ，即 ，則當(dāng) 時(shí)，有f'（x）≥0，∴函數(shù)f（x）在 上單調(diào)遞增，則f（x）max=f（e）=1﹣ea+a．
②若 ，即 ，則函數(shù)f （x）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，∴ ．
③若 ，即a≥e，則當(dāng) 時(shí)，有f'（x）≤0，函數(shù)f （x）在 上單調(diào)遞減，則 ．
綜上得，當(dāng) 時(shí)，f（x）max=1﹣ea+a；當(dāng) 時(shí)，f（x）max=﹣lna﹣1+a；當(dāng)a≥e時(shí)，
【解析】（Ⅰ）求f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有極大值0，即可求a的值；
（Ⅱ）切線的斜率即為函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，讓f′（x0）≤ 恒成立即可，再由不等式恒成立時(shí)所取的條件得到實(shí)數(shù)a范圍，即得實(shí)數(shù)a的最小值．
（Ⅲ）分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[ ，e]上的最大值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．