Question

【題目】在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a>c，已知＝2，cosB＝，b＝3，求：

(1)a和c的值；

(2)cos(B－C)的值．

Answer 1

【答案】(1)a＝2，c＝3或a＝3，c＝2；(2).

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡·＝2，將cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出關系式，將b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，聯(lián)立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間基本關系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，進而求出cosC的值，原式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值

試題解析：（1）由·＝2，得c·acos B＝2，

又cos B＝，所以ac＝6．

由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，

又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13．

聯(lián)立得或

因為a＞c，所以a＝3，c＝2．

（2）在△ABC中，sin B＝＝＝．

由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝．

因為a＝b＞c，所以C為銳角，因此cos C＝＝＝．

于是cos（B－C）＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝．