Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD邊的中點(diǎn)，
（1）求證：BG⊥平面PAD；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，G為AD邊的中點(diǎn)，所以BG⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以BG⊥平面PAD

（2）證明：連接PG，因?yàn)椤鱌AD為正三角形，

G為AD邊的中點(diǎn)，

得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，

PG平面PGB，BG平面PGB，PG∩BG=G，

所以AD⊥平面PGB，因?yàn)镻B平面PGB．

所以AD⊥PB

（3）解：當(dāng)F為PC邊的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF⊥平面ABCD，證明如下：

取PC 的中點(diǎn)F，連接DE、EF、DF，

在△PBC中，F(xiàn)E∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，

EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，因?yàn)锽G⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因?yàn)镻G⊥AD，AD∩BG=G，

∴PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，

所以平面PGB⊥平面ABCD，

所以平面DEF⊥平面ABCD．

【解析】（1）證明BG⊥AD，通過平面與平面垂直的性質(zhì)，即可證明BG⊥平面PAD．（2）連接PG，證明PG⊥AD，通過BG⊥AD，證明AD⊥平面PGB，然后證明AD⊥PB．（3）當(dāng)F為PC邊的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF⊥平面ABCD，證明如下：取PC 的中點(diǎn)F，連接DE、EF、DF，

通過證明BG⊥PG，PG⊥AD，AD∩BG=G，PG⊥平面ABCD，即可證明平面DEF⊥平面ABCD．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題．