Question

【題目】設函數(shù)．

（1）當時，解方程；

（2）當時，若不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）若a為常數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）當時，原方程化為，先解得即可得結(jié)果；（2）不等式在上恒成立，等價于在上恒成立，求出函數(shù)的最大值即可得結(jié)果；（3）函數(shù)在上存在零點，即方程在上有解，分類求出的值域即可得結(jié)果.

試題解析：（1）當時， ，所以方程即為：

解得： 或（舍），所以；

（2）當時，若不等式在上恒成立；

當時，不等式恒成立，則；

當時， 在上恒成立，即在上恒成立，

因為在上單調(diào)增， ， ，則，

得；則實數(shù)的取值范圍為；

（3）函數(shù)在上存在零點，即方程在上有解；

設

當時，則，且在上單調(diào)增，

所以， ，

則當時，原方程有解，

則；

當時， ，

在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增；

當，即時， ，

則當時，原方程有解，則；

當，即時， ，

則當時，原方程有解，則；

當時， ，

當，即則時， ，

則當時，原方程有解，則；

當，即則時， ，

則當時，原方程有解，則；

綜上，當時，實數(shù)的取值范圍為；

當時，實數(shù)的取值范圍為；

當時，實數(shù)的取值范圍為．