Question

已知直線ax+by+c-1=0（b、c＞0）經(jīng)過(guò)圓x²+y²-2y-5=0的圓心，則

4

b

+

1

c

的最小值是（　�。�

• A、9
• B、8
• C、4
• D、2

Answer 1

分析：將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為C（0，1），代入題中的直線方程算出b+c=1，從而化簡(jiǎn)得

4

b

+

1

c

=

4c

b

+

b

c

+5，再根據(jù)基本不等式加以計(jì)算，可得當(dāng)b=

2

3

且c=

1

3

時(shí)，

4

b

+

1

c

的最小值為9．

解答：解：圓x²+y²-2y-5=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得x²+（y-1）²=6，
∴圓x²+y²-2y-5=0的圓心為C（0，1），半徑r=

6

．
∵直線ax+by+c-1=0經(jīng)過(guò)圓心C，∴a×0+b×1+c-1=0，即b+c=1，
因此，

4

b

+

1

c

=（b+c）（

4

b

+

1

c

）=

4c

b

+

b

c

+5，
∵b、c＞0，∴

4c

b

+

b

c

≥2

4c b • b c

=4，當(dāng)且僅當(dāng)

4c

b

=

b

c

=2時(shí)等號(hào)成立．
由此可得當(dāng)b=2c，即b=

2

3

且c=

1

3

時(shí)，

4

b

+

1

c

=

4c

b

+

b

c

+5的最小值為9．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出已知圓的圓心在直線ax+by+c-1=0上，在b、c＞0的情況下求

4

b

+

1

c

的最小值．著重考查了直線與圓的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和基本不等式等知識(shí)，屬于中檔題．