Question

【題目】如圖,在長方體、分別是棱AB、BC的中點.

(1)證明四點共面；

(2)直線與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接AC，證明EF∥AC，推出EF∥A1C1，即可證明A1、C1、F、E四點共面；（2）以D為坐標原點，DA、DC、DD1分別為xyz軸，建立空間直角坐標系，易求得，求出平面的法向量，利用空間向量的數量積求解直線CD1與平面A1C1FE所成的角的正弦函數值，進而可得到角．

（1）連接AC，因為E，F分別是AB，BC的中點，

所以EF是△ABC的中位線，所以EF∥AC，

由長方體的性質知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，

所以A1、C1、F、E四點共面．

（2）以D為坐標原點，DA、DC、DD1分別為xyz軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，

易求得，，，

設平面的法向量為，

則，即，，得，，

所以，所以，

所以直線與平面所成的角的正弦函數值為，

故直線與平面所成角的大小為.