Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)．

（I）求證：平面平面；

（II）若異面直線與所成角為，求平面與平面夾角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）見證明;（II）.

【解析】

（I）做輔助線如圖所示，根據(jù)圖形的性質(zhì)得到線面垂直平面，再由平行四邊形的性質(zhì)得到線線平行，進(jìn)而得到面面垂直；（II）建立空間坐標(biāo)系根據(jù)線線角得出是正三角形，分別求出兩個(gè)面的法向量進(jìn)而得到面面角.

（I）證明：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，

則，，有，即四邊形是平行四邊形.

，

，

，

又平面平面，平面，

而，平面，

又平面，

平面平面.

（II）連接，由知是異面直線與所成角，

，易知是正三角形

不妨設(shè)，則，取為原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸，建立坐標(biāo)系，顯然平面的一個(gè)法向量為.

由，，得，，.

設(shè)是平面的法向量.

則 ，取.

. .

故平面與平面夾角的余弦值為.