Question

【題目】.函數(shù)f（x）=ex+x2+x+1與g（x）的圖象關(guān)于直線2x﹣y﹣3=0對(duì)稱，P，Q分別是函數(shù)f（x），g（x）圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為__

Answer 1

【答案】2

【解析】∵f（x）=ex+x2+x+1，

∴f′（x）=ex+2x+1，

∵函數(shù)f（x）的圖象與g（x）關(guān)于直線2x﹣y﹣3=0對(duì)稱，

∴函數(shù)f（x）到直線的距離的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．

直線2x﹣y﹣3=0的斜率k=2，

由f′（x）=ex+2x+1=2，

即ex+2x﹣1=0，

解得x=0，

此時(shí)對(duì)于的切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），

∴過函數(shù)f（x）圖象上點(diǎn)（0，2）的切線平行于直線y=2x﹣3，

兩條直線間距離d就是函數(shù)f（x）圖象到直線2x﹣y﹣3=0的最小距離，

此時(shí)d==，

由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，|PQ|的最小值為2d=2．

故答案為：2．