Question

已知AB是圓O的直徑，C為圓O上一點，CD⊥AB于點D，弦BE與CD、AC分別交于點M、N，且MN=MC

（1）求證：MN=MB；
（2）求證：OC⊥MN。

Answer 1

詳見解析

試題分析：（1）連結(jié)，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得，根據(jù)等量代換得，最后利用三角形的性質(zhì)即可得出，從而得到；
（2）設(shè)，根據(jù)，得到，再由（1）知，，等量代換得，即即可證出結(jié)論．此題比較基礎(chǔ)，屬于基礎(chǔ)題型，平時多加練習(xí)，能夠拿滿分.
試題解析：證明：（1）連結(jié)AE，BC，∵AB是圓O的直徑，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°∵MN=MC，∴∠MCN=∠MNC又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN∴∠EAC=∠DCB，∵∠EAC=∠EBC，∴∠MBC=∠MCB，∴MB=MC∴MN=MB．      5分
（2）設(shè)OC∩BE=F，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB
由（1）知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM．又∵∠DMB=∠FMC
∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°∴OC⊥MN．        10分