Question

【題目】已知數(shù)列滿足，其中．

（1）若數(shù)列前四項，，，依次成等差數(shù)列，求，的值；

（2）若，且數(shù)列為等比數(shù)列，求的值；

（3）若，且是數(shù)列的最小項，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）答案不唯一，見解析 （3）

【解析】

（1）由已知求出，由等差數(shù)列的定義得的方程可求解；

（2）由求出值，代入已知遞推式求出，驗證它是等比數(shù)列；

（3）當時，用累加法求得，由恒成立得，恒成立．用作差法證明數(shù)列是遞增數(shù)列，從而可得最小值，得的一個范圍，再由得的另外一些范圍后可得的范圍

（1）由已知遞推式可得，，；

，，．

由等差數(shù)列知，，得；

（2），則，

由，得或．

當時，，，滿足題意；

當時，由累加法得，滿足題意；

（3）時，

，

，

當時，由恒成立得，恒成立．

設，只需求出的最小值．

．

當時，，有；

當時，直接驗證；

故為最小值，其值為，∴；

當時，需滿足恒成立，

對驗證，

，；，；，；，．

綜上，．