Question

（2013•閘北區(qū)二模）現(xiàn)有一個(gè)由長(zhǎng)半軸為2，短半軸為1的橢圓繞其長(zhǎng)軸按一定方向旋轉(zhuǎn)180°所形成的“橄欖球面”．已知一個(gè)以橢圓的長(zhǎng)軸為軸的圓柱內(nèi)接于該橄欖球面，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積的最大值是

4π

．

Answer 1

分析：由題意作出截面圖，建立直角坐標(biāo)系后得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再設(shè)出圓柱面與橄欖球面的一個(gè)切點(diǎn)，該切點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)與圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)有關(guān)系，利用點(diǎn)在橢圓上得出點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，利用不等式可以求得ab的最大值，把圓柱的側(cè)面積用含有ab的代數(shù)式表示后得到最大值．

解答：解：由題意作截面圖如圖，

在圖中坐標(biāo)系下，設(shè)圓柱與橄欖球面在第一象限內(nèi)的切點(diǎn)為P（a，b）（a＞0，b＞0），
則橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
因?yàn)镻在橢圓上，所以

a2

4

+b2=1．
所以ab=2•

ab

2

≤

a2

4

+b2=1．
當(dāng)且僅當(dāng)

a

2

=b，即a=

2

，b=

2

2

時(shí)“=”成立．
而圓柱的底面半徑等于b，母線長(zhǎng)等于2a，
所以圓柱的側(cè)面積S=4πab．則S的最大值等于4π．
故答案為4π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的運(yùn)用，考查了利用基本不等式求最值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬中檔題．