Question

【題目】如圖，四面體OABC的三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OB=2，OC=3，D為四面體OABC外一點(diǎn)．給出下列命題．

①不存在點(diǎn)D，使四面體ABCD有三個(gè)面是直角三角形

②不存在點(diǎn)D，使四面體ABCD是正三棱錐

③存在點(diǎn)D，使CD與AB垂直并且相等

④存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球面上

其中真命題的序號(hào)是

Answer 1

【答案】③④

【解析】

試題∵四面體OABC的三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OB=2，OC=3，

∴AC=BC=，AB=，當(dāng)四棱錐CABD與四面體OABC一樣時(shí)，即取CD=3，AD=BD=2

此時(shí)點(diǎn)D，使四面體ABCD有三個(gè)面是直角三角形，故①不正確，使AB=AD=BD，此時(shí)存在點(diǎn)D，使四面體ABCD是正三棱錐，故②不正確；取CD=AB，AD=BD，此時(shí)CD垂直面ABD，即存在點(diǎn)D，使CD與AB垂直并且相等，故③正確；先找到四面體OABC的內(nèi)接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r即可

∴存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球面上，故④正確