Question

（本小題滿分13分）設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足. 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線．
（Ⅰ）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）過原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn). 是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；
當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.
（Ⅱ）存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有.

本題主要考察求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，要求能正確理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，并能熟練運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題，對(duì)運(yùn)算能力有較高要求。
（Ⅰ）如圖1，設(shè)，，則由，
可得，，所以，.           ①
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220554812291.png" style="vertical-align:middle;" />點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以.                 ②
將①式代入②式即得所求曲線的方程為.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220556871771.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；
當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.
（Ⅱ）解法1：如圖2、3，，設(shè)，，則，，
直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得
.
依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達(dá)定理可得
，即.
因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以.
于是，.
而等價(jià)于，
即，又，得，
故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有.

解法2：如圖2、3，，設(shè)，，則，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220555373289.png" style="vertical-align:middle;" />，兩點(diǎn)在橢圓上，所以 兩式相減可得
.                         ③
依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合，
故. 于是由③式可得
.                             ④
又，，三點(diǎn)共線，所以，即. 
于是由④式可得.
而等價(jià)于，即，又，得，
故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有.