Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）根據(jù)解析式求得切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，從而可求得切線方程；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立；當(dāng)單調(diào)遞減時滿足題意，即恒成立即可，從而可求得；當(dāng)時，單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時，可證得在上單調(diào)遞增，不滿足題意；綜合三種情況可得.

（1）當(dāng)時，，則

故，又

故所求切線方程為，即

（2）由題意得，在上恒成立

設(shè)函數(shù)，則

故對任意，不等式恒成立

①當(dāng)，即恒成立時，函數(shù)在上單調(diào)遞減

設(shè)，則

，即，解得，符合題意；

②當(dāng)時，恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增

則不等式對任意恒成立，不符合題意；

③當(dāng)時，設(shè)，則

令，解得

當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增

故當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增

當(dāng)時，成立，不符合題意.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為