Question

（本小題滿分12分）
已知（,0），（1,0），的周長(zhǎng)為6.
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（II）試確定的取值范圍，使得軌跡上有不同的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱.

Answer 1

（Ⅰ）（）；
（II）當(dāng)時(shí)，橢圓上存在關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)。

本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
（1）因?yàn)橐阎?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823230354803341.png" style="vertical-align:middle;" />（,0），（1,0），的周長(zhǎng)為6.
則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；根據(jù)橢圓的定義知，的軌跡是以，為
焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓。
（2）要使得軌跡上有不同的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱.
假設(shè)橢圓上存在關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，。
設(shè)，直線與橢圓聯(lián)立方程組，結(jié)合又的中點(diǎn)在上得到范圍。
解：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義知，的軌跡是以，為
焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓。
∴，　∴
故的軌跡方程為（）
（II）解法1：假設(shè)橢圓上存在關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，。
設(shè)
由　得　
由得
∵　∴
又的中點(diǎn)在上
∴　∴　∴
∴，即
故當(dāng)時(shí)，橢圓上存在關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)。
解法2：設(shè)，是橢圓上關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則
　　
①－②各得　即
∴
又點(diǎn)在直線上
∴　即，
而在橢圓內(nèi)，
∴　　∴
∴當(dāng)時(shí)，橢圓上存在關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)。