Question

【題目】已知點，圓.

（Ⅰ）若直線過點且到圓心的距離為1，求直線的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點的直線與圓交于兩點（的斜率為正），當(dāng)時，求以線段為直徑的圓的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ） .

【解析】試題分析： 把圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后，分兩種情況，①當(dāng)直線的斜率存在時，因為直線經(jīng)過點，設(shè)出直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線的距離，讓等于列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值，根據(jù)的值和的坐標(biāo)寫出直線的方程；②當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為；

設(shè)直線的方程為，根據(jù)點到直線距離可以求出的值，再次聯(lián)立直線與圓的方程解得中點坐標(biāo)，即可以求出以線段為直徑的圓的方程

解析：（Ⅰ）由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ，

∴圓心，半徑，

①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，

∴，解得，

∴直線的方程為，即.

②當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，

此時直線到圓心的距離為1，符合題意.

綜上，直線的方程為或.

（Ⅱ）設(shè)過點的直線的方程為即，

則圓心到直線的距離，

解得，∴直線的方程為即，

聯(lián)立直線與圓的方程得,

消去得，則中點的縱坐標(biāo)為，

把代入直線中得，∴ 中點的坐標(biāo)為，

由題意知，所求圓的半徑為： ，

∴以線段為直徑的圓的方程為： .