Question

如果雙曲線x²-my²=1（m＜1）上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形面積為1，則此三角形的形狀為（　　）

A．直角三角形

B．銳角三角形

C．鈍角三角形

D．等邊三角形

Answer 1

分析：先根據(jù)雙曲線方程確定幾何量，再利用三角形的面積公式及余弦定理，可建立方程，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，可用m表示cosα，利用m＜1，即可求解．

解答：解：雙曲線x²-my²=1（m＜1）中，a2=1，b2=

1

m

，c2=1+

1

m

不妨設(shè)|PF₂|=x，|PF₁|=x+2，∠F₁PF₂=α
則x2+(x+2)2-4c2=x2+(x+2)2-4(1+

1

m

)=2x（x+2）-

4

m

∵三角形的面積為1，
∴

1

2

x(x+2)sinα=1
∴x(x+2)=

2

sinα

∵cosα=

x2+ (x+2)2 -4c2

2x(x+2)

=1-

2

mx(x+2)

∴cosα=1-

sinα

m

∵cos²α+sin²α=1
∴sinα=

2m

m2+1

∴cosα=1-

sinα

m

=

m2-1

m2+1

∵m＜1
∴cosα＜0
∴α為鈍角
故三角形為鈍角三角形
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的焦點(diǎn)三角形，合理運(yùn)用雙曲線的定義，正確運(yùn)用余弦定理是解題的關(guān)鍵．