Question

【題目】已知函數(shù)是定義在， ， 上的奇函數(shù)，當(dāng)， 時(shí), （）.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）設(shè)， ， ，求證：當(dāng)時(shí)， 恒成立；

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)， 時(shí)， 的最小值是？如果存在，

求出實(shí)數(shù)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）

【解析】試題分析：本題主要考查對(duì)稱(chēng)區(qū)間上函數(shù)解析式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問(wèn)，把所求范圍轉(zhuǎn)化為已知范圍代入到已知解析式，再利用奇偶性整理解析式；第二問(wèn)，先將代入到和中，構(gòu)造新函數(shù)，所求證的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為，對(duì)和求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)最值，代入到轉(zhuǎn)化的式子中驗(yàn)證對(duì)錯(cuò)即可；第三問(wèn)，先假設(shè)存在最小值3，對(duì)求導(dǎo)，分情況討論a，通過(guò)是否在區(qū)間內(nèi)討論a的4種情況，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，且數(shù)形結(jié)合求出函數(shù)最值，令其等于3，解出a的值．

（1）設(shè)，則，所以又因?yàn)?/span>是定義在上的奇函數(shù)，所以

故函數(shù)的解析式為2分

（2）證明：當(dāng)且時(shí)，

，設(shè)

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞增，所以

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞減，所以

所以當(dāng)時(shí)， 即6分

（3）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)， 有最小值是3，

則

（ⅰ）當(dāng)， 時(shí)， ． 在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，不滿足最小值是３

（ⅱ）當(dāng)， 時(shí)， ， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，也不滿足最小值是３

（ⅲ）當(dāng)，由于，則，故函數(shù)是上的增函數(shù)．所以，解得（舍去）

（ⅳ）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)是增函數(shù)．

所以，解得

綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)， 有最小值３ 12分