Question

點(diǎn)A為兩曲線C1:+=1和C2:x2-=1在第二象限的交點(diǎn),B、C為曲線C1的左、右焦點(diǎn),線段BC上一點(diǎn)P滿足:=+m(+),則實(shí)數(shù)m的值為　　　　.

 

Answer 1

【答案】

【解析】法一　∵A是曲線C1與C2在第二象限的交點(diǎn)如圖所示.

∴由

得點(diǎn)A坐標(biāo)為(-,2).

由+=1知c2=9-6=3,

∴B(-,0),C(,0),

∴=(0,2),=(0,-2),=(2,-2).

=2,

=4.

∴+m（+）=(0,2)+m=(0,2)+m（,-）=（m,2-m）.

設(shè)點(diǎn)P(x,0),則=(x+,0),

由題意得

解得

法二　由橢圓與雙曲線方程可知,C1、C2有共同的焦點(diǎn),即B、C.

由橢圓和雙曲線定義有

解得

又|BC|=2,

∴△ABC為直角三角形,且∠BAC=60°.

又由=+m(+)得

-==m(+)(*)

由向量的線性運(yùn)算易知,AP為∠BAC的平分線,

故cos∠BAP=,

即cos 30°=,

∴=.

將(*)式的兩邊平方得:

||2=m2(1+1+2cos 60°)=（）2,

解得m=或m=-(舍去).