Question

已知點(diǎn)A（3，2），直線l₁：x+2y-3=0．求：
（1）過點(diǎn)A與l₁垂直的直線方程；
（2）求過點(diǎn)A的直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積的最小值及此時(shí)的直線方程．

Answer 1

分析：（1）由于直線l₁的斜率為-

1

2

，故所求的直線的斜率等于2，用點(diǎn)斜式求得所求直線的方程．
（2）設(shè)過A點(diǎn)的直線方程為：y-2=k（x-3），求出直線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，由題意求得k＜0，所求三角形的面積為：

1

2

×(12-9k-

4

k

)，利用基本不等式求出三角形面積的最小值，并求出此時(shí)的k的值，從而求得此時(shí)直線的方程．

解答：解：（1）直線l₁的斜率為-

1

2

，故所求的直線的斜率等于2，
所以，所求直線方程為：y-2=2（x-3），即 2x-y-4=0．
（2）設(shè)過A點(diǎn)的直線方程為：y-2=k（x-3），則直線與x軸正半軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(3-

2

k

，0)，
與y軸正半軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2-3k）．
根據(jù)題意有

3- 2 k ＞0 2-3k＞0

，解得k＜0．
此時(shí)，所求三角形的面積為：

1

2

|3-

2

k

|•|2-3k|=

1

2

×(12-9k-

4

k

)．
又 -9k-

4

k

≥2

(-9k)×(- 4 k )

=12，當(dāng)且僅當(dāng)-9k=

4

-k

時(shí)，取等號(hào)．
所以三角形面積的最小值為：

1

2

×[12+(-9k-

4

k

)]=

1

2

×(12+12)=12．
此時(shí)-

4

k

=-9k即k=-

2

3

．此時(shí)直線的方程為：2x+3y-12=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，用點(diǎn)斜式求直線方程，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．