Question

下面四個(gè)圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第n個(gè)圖形中所有小正三角形邊上黑點(diǎn)的總數(shù)為f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）找出f（n）與f（n+1）的關(guān)系，并求出f（n）的表達(dá)式；
（3）求證：

1

1 3 f(1)+3

+

1

1 3 f(2)+5

+

1

1 3 f(3)+7

+…+

1

1 3 f(n)+2n+1

＜

25

36

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由圖分別求出f（2），f（3），f（4），f（5）．
（2）根據(jù)（1）的幾個(gè)數(shù)值，歸納出f（n）的表達(dá)式．
（3）利用歸納的f（n）的表達(dá)式，將數(shù)列進(jìn)行化簡(jiǎn)求和，然后利用歸納法證明不等式．

解答：解：（1）由題意有f（1）=3，f（2）=f（1）+3+3×2=12，
f（3）=f（2）+3+3×4=27，f（4）=f（3）+3+3×6=48，f（5）=f（4）+3+3×8=75．                                            …（2分）
（2）由題意及（1）知，f（n+1）=f（n）+3+3×2n=f（n）+6n+3，…（4分）
即f（n+1）-f（n）=6n+3，
所以f（2）-f（1）=6×1+3，
f（3）-f（2）=6×2+3，
f（4）-f（3）=6×3+3，
…f（n）-f（n-1）=6（n-1）+3，…（5分）
將上面（n-1）個(gè)式子相加，
得：f（n）-f（1）=6[1+2+3+…+（n-1）]+3（n-1）=6×

(1+n-1)(n-1)

2

+3(n-1)=3n²-3…（6分）
又f（1）=3，所以f（n）=3n²．                   …（7分）
（3）∵f（n）=3n²
∴

1

1 3 f(n)+2n+1

=

1

n2+2n+1

=

1

(n+1)2

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．           …（9分）
當(dāng)n=1時(shí)，

1

1 3 f(1)+3

=

1

4

＜

25

36

，原不等式成立．       …（10分）
當(dāng)n=2時(shí)，

1

1 3 f(1)+3

+

1

1 3 f(2)+5

=

1

4

+

1

9

=

13

36

＜

25

36

，原不等式成立．  …（11分）
當(dāng)n≥3時(shí)，

1

1 3 f(1)+3

+

1

1 3 f(2)+5

+

1

1 3 f(3)+7

+…+

1

1 3 f(n)+2n+1

＜

1

1 3 ×3+3

+

1

1 3 ×12+5

+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

+

1

9

+

1

3

-

1

n+1

=

25

36

-

1

n+1

＜

25

36

，原不等式成立．                …（13分）
綜上所述，對(duì)于任意n∈N*，原不等式成立．        …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是歸納推理以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，綜合性較，強(qiáng)運(yùn)算量較大．