Question

下面四個(gè)圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第n個(gè)圖形中有n個(gè)正三角形中所有小正三角形邊上黑點(diǎn)的總數(shù)為f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）找出f（n）與f（n+1）的關(guān)系，并求出f（n）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件分別求出f（2），f（3），f（4），f（5）即可；
（2）根據(jù)條件找出f（n）與f（n+1）的關(guān)系，利用累加法即可求出f（n）的表達(dá)式．

解答：解：（1）由題意有f（1）=3，
f（2）=f（1）+3+3×2=12，
f（3）=f（2）+3+3×4=27，
f（4）=f（3）+3+3×6=48，
f（5）=f（4）+3+3×8=75．
（2）由題意及（1）知，f（n+1）=f（n）+3+3×2n=f（n）+6n+3，
即f（n+1）-f（n）=6n+3，
所以f（2）-f（1）=6×1+3，
f（3）-f（2）=6×2+3，
f（4）-f（3）=6×3+3，
…
f（n）-f（n-1）=6（n-1）+3，
將上面（n-1）個(gè)式子相加，
得：f（n）-f（1）=6[1+2+3+…+（n-1）]+3（n-1）=6×

(1+n-1)(n-1)

2

+3(n-1)=3n²-3
又f（1）=3，
所以f（n）=3n²．
故答案為：（1）12，27，48，75．
（2）f（n+1）-f（n）=6n+3，f（n）=3n²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，利用累加法求出f（n）是解決本題的關(guān)鍵．