Question

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．

（1）求證：直線BD1∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDD1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，連接PO，

∵P，O分別是DD1，BD的中點(diǎn)，∴PO∥BD1，

又∵BD1面PAC，PO面PAC，

∴BD1∥面PAC

（2）證明：∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，

∴底面ABCD是正方形，則AC⊥BD．

∵DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥AC，

∴AC⊥面BDD1，

∵AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面BDD1

【解析】（1）設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，連接PO，由P，O分別是DD1 ， BD的中點(diǎn)，知PO∥BD1 ， 由此能夠證明BD1∥面PAC．（2）由題設(shè)條件推導(dǎo)出AC⊥面BDD1 ， 由此能夠證明平面PAC⊥平面BDD1 ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．