Question

如圖，已知

OA

=

a

，

OB

=

b

，任意點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為S，點(diǎn)S關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為N．
（1）用

a

，

b

表示向量

MN

；
（2）設(shè)|

a

|=l，|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為30°，

MN

⊥（λ

a

+

b

），求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，AB是△SMN的中位線，故有

MN

=2

AB

=2（

OB

-

OA

），化簡(jiǎn)可得結(jié)果．
（2）利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)可得

MN

•（λ

a

+

b

）=0，化簡(jiǎn)可得-λ

a

2+

b

2+（λ-1）

a

•

b

=0，由此求得實(shí)數(shù)λ的值．

解答：解：（1）由題意可得，AB是△SMN的中位線，故有

MN

=2

AB

=2（

OB

-

OA

）=2（

b

-

a

）．
（2）∵

MN

⊥（λa+b），∴

MN

•（λ

a

+

b

）=0，即 2（

b

-

a

）•（λ

a

+

b

）=0，
即-λ

a

2+

b

2+（λ-1）

a

•

b

=0，
∴-λ+4+1×2×cos30°（λ-1）=0，
解得 λ=

-1-3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，向量在幾何中的應(yīng)用，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．