Question

已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；
（1）求在上的解析式；
（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并給出證明.

Answer 1

(1)  ；
(2)函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù).證明見解析。

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823235033043447.png" style="vertical-align:middle;" />為定義在上的奇函數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，利用，可得；就得到在上的解析式；（2）先分析單調(diào)性，再利用定義按下面過(guò)程：取值，作差，變形，定號(hào)，得單調(diào)性.
(1)當(dāng)時(shí),，
所以，
又   6分
(2)函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù).
證明如下:
設(shè)是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，
則8分
，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232350337291212.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以  即.
所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù).   12分