Question

【題目】已知函數(shù).

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若不等式在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍,并證明：

.

Answer 1

【答案】（1）時，在上遞減，時，時遞減，時遞增；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）判斷單調(diào)性，定義域為，只要求得導(dǎo)數(shù)，判斷的正負即可，此題需要按 和分類討論；（2）證明此不等式的關(guān)鍵是求的最大值，由導(dǎo)數(shù)的知識可得最大值為，即，當時，．這樣要證不等式的左邊每一項都有，相加即得結(jié)論．

試題解析：（1）由題可知，

定義域為，

所以，

若，恒成立，在單調(diào)遞減.

若，

，

當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增.

（2）不等式在區(qū)間上恒成立

可轉(zhuǎn)化為：，令，

則問題可化為（其中），

由于，令得，

當時，，單調(diào)遞增，

當時，，單調(diào)遞減.

所以，因此， 即.

由，可知，

從而得到，對依次取值可得

，，，…，，

對上述不等式兩邊依次相加得到：