Question

【題目】設(shè)等差數(shù)列的公差，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，.若實(shí)數(shù)，則稱具有性質(zhì).

（1）請判斷、是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且恒成立.求證：對任意的，實(shí)數(shù)都不具有性質(zhì)；

（3）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若對任意的，都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的的值.

Answer 1

【答案】（1）不具有，具有；（2）證明見解析；（3）3，4．

【解析】

（1）求得，2，3，4，5，6，7時(shí)，數(shù)列的前7項(xiàng)，可得和首項(xiàng)，得到等差數(shù)列的通項(xiàng)，即可判斷、是否具有性質(zhì)；

（2）由題意可得，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，化簡整理可得，結(jié)合集合中元素的特點(diǎn)，即可得證；

（3）求得，2，3，4，的特點(diǎn)，結(jié)合，4，5，6，集合的特點(diǎn)，即可得到所求取值．

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，．，

可得時(shí)，，解得，

，

，即，

，即，

解得，，同理可得，，

，，，，

，，，，

，，

則不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)；

（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若是單調(diào)遞增數(shù)列，

可得，

即為，

化為對為一切自然數(shù)成立，

即有，可得，

又，，

且，，可得中的元素大于，

則對任意的，，實(shí)數(shù)都不具有性質(zhì)．

（3）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若對任意的，都具有性質(zhì)，

由于，，

，

，，，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

顯然，6不成立，

故所有滿足條件的的值為3，4．