Question

點P（x，y）是曲線C：y=（x＞0）上的一個動點，曲線C在點P處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點O是坐標(biāo)原點．給出三個命題：
①|(zhì)PA|=|PB|；
②△OAB的周長有最小值4+2；
③曲線C上存在兩點M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．
其中真命題的個數(shù)是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：先利用導(dǎo)數(shù)求出過點P的切線方程：①由切線方程可求得點A、B的坐標(biāo)，進而利用兩點間的距離公式即可證明；②先利用兩點間的距離公式求出△OAB的周長，再利用基本不等式的性質(zhì)即可證明；③先假設(shè)滿足條件的點M、N存在，利用等腰三角形的性質(zhì)只要解出即證明存在，否則不存在．
解答：解：設(shè)動點P（m＞0），則，∴，
∴過動點P的切線方程為：．
①分別令y=0，x=0，得A（2m，0），B．
則|PA|=，，∴|PA|=|PB|，故①正確；
②由上面可知：△OAB的周長=≥+=4，當(dāng)且僅當(dāng)，即m=1時取等號．
故△OAB的周長有最小值4+2，即②正確．
③假設(shè)曲線C上存在兩點M，N，不妨設(shè)0＜a＜b，∠OMN=90°．
則，，
所以化為
解得，故假設(shè)成立．
因此③正確．
故選D
點評：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本不等式的性質(zhì)、兩點間的距離公式及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．