Question

【題目】已知焦距為2的橢圓W： =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為A1 ， A2 ， 上、下頂點分別為B1 ， B2 ， 點M（x0 ， y0）為橢圓W上不在坐標軸上的任意一點，且四條直線MA1 ， MA2 ， MB1 ， MB2的斜率之積為 ．

（1）求橢圓W的標準方程；
（2）如圖所示，點A，D是橢圓W上兩點，點A與點B關于原點對稱，AD⊥AB，點C在x軸上，且AC與x軸垂直，求證：B，C，D三點共線．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知：2c=2，c=1，a2﹣b2=1，

∵M（x0，y0）為橢圓W上不在坐標軸上的任意一點，

∴ ， = （a2﹣ ）， = （b2﹣ ），

= = ，

= =（ ）2= ，則a2=2b2，

∴a2=2，b2=1，

∴橢圓W的標準方程

（2）

解：證明：不妨設點A（x1，y1），D（x2，y2），B的坐標（﹣x1，﹣y1），C（x1，0），

∵A，D在橢圓上， ，=0，即（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0，

∴ =﹣ ，

由AD⊥AB，

∴kADkAB=﹣1， =﹣1， （﹣ ，）=﹣1，

∴ = ，

∴kBD﹣kBC= ﹣ = ﹣ =0，

kBD=kBC，

∴B，C，D三點共線

【解析】（1）由c=1，a2﹣b2=1，求得四條直線的斜率，由斜率乘積為 ，代入求得a和b的關系，即可求得a和b的值，求得橢圓W的標準方程；（2）設A，D的坐標，代入橢圓方程，作差法，求得直線AD的斜率，由kADkAB=﹣1，代入求得 = ，由kBD﹣kBC=0，即可求證kBD=kBC ， 即可求證B，C，D三點共線．